Operações com conjuntos

Operações envolvendo conjuntos

As operações envolvendo conjuntos são de fundamental importância para o desenvolvimento de outras áreas da matemática, como a probabilidade, por exemplo; e para resolução de diversas situações-problema. Dentre as operações entre conjuntos, destacamos: a união, intersecção, diferença e complementar de um conjunto. Vejamos como efetuar cada uma delas.

1. União de conjuntos.

Dados dois conjuntos A e B, a união de A com B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.



Exemplo: Considerando os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e B = {8, 9, 10, 11, 12}, temos que:

A U B = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

2. Intersecção de conjuntos.

Dados dois conjuntos A e B, a intersecção de A com B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. De uma forma mais simples, é o conjunto formado pelos elementos que são comuns aos dois conjuntos.

Exemplo 1: Seja A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e B = {8, 9, 10, 11, 12}, temos que:

A ∩ B = {9, 11}

Exemplo 2. A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e C = {2, 4, 6, 8, 10}

A ∩ C = ø, pois os dois conjuntos não apresentam elementos em comum.

A operação de intersecção apresenta algumas propriedades:

a) Propriedade reflexiva.
A ∩ A = A

b) Propriedade comutativa.
A ∩ B = B ∩ A

c) Propriedade associativa.
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

d) Propriedade distributiva.
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

Graficamente, utilizando os diagramas de Venn, podemos representar a operação de intersecção da seguinte forma:

3. Diferença de conjuntos.

Dados dois conjuntos A e B, a diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.



Exemplo: A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e B = {8, 9, 10, 11, 12}

A – B = {1, 3, 5, 7}
B – A = {8, 10, 12}

4. Complementar de um conjunto.

Essa operação é um caso particular de diferença entre conjuntos. Considere dois conjuntos, A e B, sendo que B está contido em A  , ou seja, B é um subconjunto de A. O complementar de B em relação a A, representado por C_AB, é a diferença A – B.

Exemplo: Sejam A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} e B = {4, 8, 12}, temos que:

C_AB = A – B = {2, 6, 10, 14}

Tipo de conjuntos

Conjuntos

Conjuntos são elementos reunidos em um mesmo grupo que possuem características semelhantes. Conforme o número de elementos que compõe um conjunto ele receberá uma denominação, veja quais são essas denominações e suas características.

Conjunto unitário

Um conjunto será unitário se nele existir apenas um elemento, por exemplo:
• O conjunto dos planetas do sistema solar que começam com a letra T = {Terra}.

• O conjunto dos números inteiros que estão entre 10 e 12 = {11}.

Conjunto Vazio

Conjunto que não possui nenhum elemento. Esse tipo de conjunto por não possuir nenhum elemento irá ter uma representação diferenciada. Quando um conjunto for vazio ele será representado por: ou { }, nunca devemos representá-lo assim { }.

Conjunto finito

Podemos dizer que são conjuntos que tem fim, por exemplo:
• O conjunto que representa a quantidade de funcionários registrada em uma empresa.

• O conjunto dos números inteiros que estão entre - 8 e 2 = {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1}

Conjunto infinito

Conjuntos que a contagem dos seus elementos não tem fim, por exemplo, o conjunto dos números naturais, conjunto dos números inteiros.